已知椭圆x²+2y²=4,则其内一点（1,1）为中点的弦的长度?

题目

已知椭圆x²+2y²=4,则其内一点（1,1）为中点的弦的长度?

答案

弦AB中点（1,1） A（x1,y1) B(x2,y2)
AB直线方程：y-1=k(x-1)
y=k(x-1)+1 y1-y2=k(x1-x2)
x^2+2k^2(x-1)^2+2k(x-1)+1-4=0
(1+2k^2)x^2 -(4k^2-2k)x+2k^2-2k-3=0
x1+x2=(4k^2-2k)/(1+2k^2)
x1x2=(2k^2-2k-3)/(1+2k^2)
(x1+x2)/2=1 x1+x2=2
(4k^2-2k)/(1+2k^2)=2
-2k=2
k=-1
x1x2=1/3
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=2^2-4*(1/3)=4-4/3=8/3
|AB|^2=(k^2+1)(x1-x2)^2=2*8/3=16/3
|AB|=4/√3