设tanα和tanβ是方程x2+6x+7=0的两根，求证：sin（α+β）=cos（α+β）．

题目

设tanα和tanβ是方程x²+6x+7=0的两根，求证：sin（α+β）=cos（α+β）．

答案

证明：由根与系数关系可知：

tanα+tanβ＝−6 tanα×tanβ＝7

由公式tan（α+β）=

tanα+tanβ

1−tanα×tanβ

=

−6

1−7

=1
∴sin（α+β）=cos（α+β）

由题设条件tanα和tanβ是方程x²+6x+7=0的两根，用根系关系求出两根之和与两根之积，由证明结论知，只须证明tan（α+β）=1，故须用两角和的正切公式证明，

本题考点：三角函数恒等式的证明．

考点点评：考查根与系数的关系以及两角和的正切公式，以同角三角函数中的商数关系．