已知四阶矩阵A=（α1 α2 α3 α4）,且他们均为四维列向量,其中α2 α3 α4 线性无关,α1=2α2-α3 如B

题目

已知四阶矩阵A=（α1 α2 α3 α4）,且他们均为四维列向量,其中α2 α3 α4 线性无关,α1=2α2-α3 如B
α1+α2+α3+α4 求线性方程组AX=B的全部解.
注意：那个等式是二倍的α2

答案

我不知道你研几了,多思考哦.线性方程组不好表示,你就将就着看吧：）
由 α2,α3,α4 线性无关和 α1 = 2α2 - α3 + 0α4 ,故A的秩序为 3,因此 Ax=0 的基础解系中只包含一个向量.
由 α1 - 2α2 + α3 + 0α4 = 0 ,可知
{1
-2
1
0}
为齐次线性方程组 Ax=0 的一个解,所以其他通解为
x=k{1
-2
1
0}
k为任意常数.
再由β=α1+α2+α3+α4=
(α1,α2,α3,α4){1
1
1
1}
=A{1
1
1
1}
可知
{1
1
1
1}
为非齐次线性方程组Ax=β的一个特解,于是Ax=β的通解为
x={1
1
1
1}+
k{1
-2
1
0},其中k为任意常数.
另一种解法是：
令x={x1
x2
x3
x4}
再由Ax=β和α1=2α2-α3 得
(2x1+x2-3)α2+(-x1+x3)α3+(x4-x1)α4=0
再由α2,α3,α4线性无关可得方程组
2x1+x2-3=0
-x1+x3=0
x4-1=0
解得此方程组即可