高等代数题(多项式)
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高等代数题(多项式)
证明:
设 f(x)是整系数多项式,且 f(1)=f(2)=f(3)=p,,则不存在整数m,使 f(m)=2p.
答案
证明:假设存在整数m,使f(m)=2p,令F(x)=
f(x)-p,显然F(X)是整系数多项式,则F(1)=F(2)=F(3)=p-p=0.故1,2,3是F(X)的根.可令
F(X)=(x-1)(x-2)(x-3)g(x),则g(x)也是整系数多项式,所以F(m)=(m-1)(m-2)(m-3)g(x)=
f(m)-p=2p-p=p,根据已知,f(1)=f(2)=f(3)=p,
,f(m)=2p,故m-1,m-2,m-3是不同的整数,它们又是p的因数,这与p为素数矛盾.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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