乘法分配律是经验得出来的?能不能证明?

题目

乘法分配律是经验得出来的?能不能证明?
乘法分配律是经验得出来的?像公理一样?能不能证明?需不需要证明?

答案

在数学上,乘法分配律,可以看成是公理,也可以看成是能证明的结论.实际上这取决于讨论问题的出发点.（希望我不要把人越弄越糊涂）
比如说吧,数学上的乘法可以不单指自然数、有理数、实数或复数的乘法.更一般地,可以在一组对象之间定义乘法和加法,并要求它满足一定的运算法则.那么这种方式下分配律往往就是一种规定,或者说是公理,或者说是定义（类似于定义：满足……、分配律的东西就叫“XXX”）.数学上“模”、“线性空间”的定义就是这样.
但反过来,具体到一组特定的对象,比如自然数,它可能就不是按上面“满足……律的东西就叫‘XXX’”的方式定义的,而是直接给出计算方法的,那么这种情况下这组对象如果满足分配律,就是可以证明的.
我下面假设提问的silaobi并不打算听我说数学上的奇怪结构,只想知道关于简单的数字,分配律的情况.
答案是：仍然是并不确定的.
lanslost很简明地指出了在Peano自然数公理基础上,在用数系扩张办法构造出整个数域的过程中,乘法分配律是可以证明的——因为所有数域的分配律都最终依赖于自然数的分配律,而自然数的分配律则完全依赖于自然数加、乘法的归纳定义.
我这里不得不很不厚道地说一句,lanslost那句“就像数学家花了很多时间才证明1后面只能是2”是很不负责任的,因为Peano公理下就是把2定义为1的唯一后继,并规定加法为n + 1 = n的后继.至多只是说数学家很晚才找到一种方法来严格地描述自然数及其性质罢了.
反过来,我们也可以用另一种方式定义自然数：
先定义实数是满足一系列性质（其中就包括乘法分配律）的集合,再定义自然数是实数中以0（或者以1）开头的,满足归纳法性质的子集合.这时自然数的分配律就完全由实数决定,而实数的分配律——如上面所说,就是我们定义实数时直接规定的,也就是说它是个公理.类似地,什么整数、有理数以及复数,它们满足分配律都依赖于实数的分配律,而它们归根结底是由实数的定义（公理）保证的.
顺便提一句,上面指出的两种方法正是数学中引入严格的实数概念的两种基本方式.