设函数f（x）=x|x-a|+b，求证：f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0．

题目

设函数f（x）=x|x-a|+b，求证：f（x）为奇函数的充要条件是a²+b²=0．

答案

证明：充分性：∵a2+b2=0，∴a=b=0，∴f（x）=x|x|，∵f（-x）=-x|-x|=-x|x|，-f（x）=-x|x|，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数．必要性：若f（x）为奇函数，则对一切x∈R，f（-x）=-f（x）恒成立，即-x|-x-a|+b...