函数f(x)=log1/2(ax^2-2x+4),a∈R.问：若函数f(x)在（—∞,3]内为增函数,求实数a的取值范围

题目

函数f(x)=log1/2(ax^2-2x+4),a∈R.问：若函数f(x)在（—∞,3]内为增函数,求实数a的取值范围

答案

f(x) log1/2 u(x)是关于u(x)的减函数
所以只需 u(x) =ax² -2x +4 在(-∞,3]是减函数
且满足 u(x) >0 恒成立【真数大于0】
当a=0时 u(x) = -2x+4 是减函数
u(x)>u(3) = -2 不满足 u(x)>0恒成立
当a≠0时,需二次函数开口向上即 a>0
对称轴 x = 1/a ≥ 3
最小值 u(3) = 9a -2 >0
解得 2/9 < a ≤ 1/3