A,B在椭圆x^2/3+y^2=1上,原点O到AB的距离为根号3/2,求三角形AOB的面积

题目

A,B在椭圆x^2/3+y^2=1上,原点O到AB的距离为根号3/2,求三角形AOB的面积

答案

设0到AB的垂足H坐标为(根号3/2*cosA,根号3/2*sinA),A(x1,y1),B(x2,y2)
由于OH垂直于AB用法向式可求得AB的直线方程.
整理得：y=-cotA*x+根号3/(2sinA)
因为椭圆x^2/3+y^2=1
所以,x1^2/3+y1^2=1 (1)
x2^2/3+y2^2=1 (2)
(1)-(2) :(x1-x2)(x1+x2)/3 +(y1-y2)(y1+y2)=0
(x1+x2)/3+(-cotA)*(y1+y2)=0
所以,(x1+x2)^2=9(cotA)^2*(y1+y2)^2
由直线：（tanA）^2（y1-y2）^2=(x1-x2)^2,
（x1-x2）^2+(y1-y2)^2=4
所以S=AB*OH/2=根号3/2