求椭圆x=acosө,y=bsinө所围成图形的面积A

题目

求椭圆x=acosө,y=bsinө所围成图形的面积A

答案

由x=acosθ,y=bsinθ是椭圆方程：
两边平方：x²=a²cos²θ,y²=b²sin²θ,
cos²θ=x²/a²,sin²θ=y²/b²,
∴x²/a²+y²/b²=1,
令x=acosα,dx=-asinαdα,
当积分上限为x=a时,α=0,x=-a时,α=π,
S=πab.（在定积分的应用都有,对y=b√（a²-x²）/a积分即可.）