已知函数f x对任意的ab 属于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-2,并且当x>0时,f(x)>2

已知函数f x对任意的ab 属于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-2,并且当x>0时,f(x)>2

题目
已知函数f x对任意的ab 属于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-2,并且当x>0时,f(x)>2
(1)求证:f(x)是R上的增函数
(2)若f(4)=4,f(3m^2-m-2)
答案
(1)
设x1∈R ,x2∈R+
由题意得f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2
则f(x1+x2)-f(x1)=f(x2)-2
∵f(x2)>2
∴f(x2)-2>0 即f(x1+x2)-f(x1)>0
∴f(x)是R上的增函数
(2)
∵f(4)=4
∴f(2+2)=f(2)+f(2)-2=4
∴f(2)=3
又∵f(x)是R上的增函数
∴3m^2-m-2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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