设复数z满足|z|=1,求|z^2+2z|的最大值和最小值

题目

设复数z满足|z|=1,求|z^2+2z|的最大值和最小值

答案

|Z^2+2Z|=|（Z+1）^2-1|
|Z|=1,
有（Z+1）=2COSα∠α,α属于[-90°,90°]
（Z+1）^2=4（COSα）^2∠2α=(2+2COSβ) ∠β,β=2α,属于[-180°,180°]
（Z+1）^2-1=[(2+2COSβ)COSβ-1]+j[(2+2COSβ)SINβ]
=(COS2β+2COSβ)+ j(SIN2β+2SINβ )
|（Z+1）^2-1|=根（5+4COSβ）
故|Z^2+2Z|最大值为3,最小值为1.