已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=2,若数列an满足an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+.+f((n-1)/n)+f(1)求证a

已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=2,若数列an满足an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+.+f((n-1)/n)+f(1)求证a

题目
已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=2,若数列an满足an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+.+f((n-1)/n)+f(1)求证a
1.求证an为等差数列2.若{an乘an加1分之一}的前n项和Tn<qan加一对一切n属于R都成立,求q的取值范围
答案
1、由题意知
f(0)+f(1)=2
f(1/n)+f(1-1/n)=2
f(2/n)+f(1-2/n)
……
所以an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+.+f((n-1)/n)+f(1)……(1)
an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+.+f((n-1)/n)+f(1)……(2)
(1)+(2)得
2an=(f(0)+f(1))+(f(1/n)+f(1-1/n))+……+(f(1)+f(0))=(n+3)*2
所以an=n+3 由此可知an是一个以4为首项1为公差的等差数列
2、由(1)知 1/an*(an+1)=1/(n+3)(n+4)=1/(n+3)-1/(n+4)
所以Tn=1/4-1/5+1/5-1/6+……+1/(n+3)-1/(n+4)=1/4-1/(n+4)=n/(n+4)
若果qan加一是qan+1
那么 就有n/(n+4)-4/(n+4)(n+3) 而-4/(n+4)(n+3)无最大值
所以你的题qan加一是 qa(n+1)
那么 就有n/(n+4)n/(n+4)^2
而 n/(n+4)^2的最大值是1/16(当且仅当n=16/n,n=4或-4时等号成立)
所以Tn<qan加一对一切n属于R都成立 时 q的范围是q>1/16
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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