在四边形ABCD中，AC、BD交于O点，且AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ADC和∠ABC． （1）说明四边形ABCD为什么是菱形； （2）过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交

题目

在四边形ABCD中，AC、BD交于O点，且AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ADC和∠ABC．

（1）说明四边形ABCD为什么是菱形；
（2）过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E，判断四边形OBEC的形状，并说明理由．

答案

（1）∵AC平分∠DAB和∠DCB，
∴∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
在△DAC和△BAC中

∠DAC＝∠BAC AC＝AC ∠DCA＝∠BCA

∴△DAC≌△BAC，
∴AD=AB，DC=BC，
同理△ADB≌△CDB，
∴AD=DC，
即AD=DC=BC=AB，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）四边形OBEC是矩形，
理由是：∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COB=90°，
∴平行四边形OBEC是矩形．

（1）推出∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，证△DAC≌△BAC，推出AD=AB，DC=BC，证△ADB≌△CDB，推出AD=DC，得出AD=DC=BC=AB，根据菱形判定推出即可；
（2）根据平行四边形判定得出四边形OBEC是平行四边形，根据菱形的性质得出∠COB=90°，根据矩形判定推出即可．

本题考点：菱形的判定；矩形的判定．

考点点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，菱形的判定和性质，平行四边形判定，矩形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．