已知F1、F2分别是双曲线x23−y26＝1的左右焦点，过右焦点F2作倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点．（Ⅰ）求线段AB的长；（Ⅱ）求△AF1B的周长．

题目

已知F₁、F₂分别是双曲线

x2

3

−

y2

6

＝1的左右焦点，过右焦点F₂作倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点．
（Ⅰ）求线段AB的长；
（Ⅱ）求△AF₁B的周长．

答案

（Ⅰ）由双曲线的方程得F₁（-3，0），F₂（3，0），直线AB的方程为y=

3

3

(x-3)①（2分）
将其代入双曲线方程消去y得，5x²+6x-27=0，解之得x1=-3，x2=

9

5

．（4分）
将x₁，x₂代入①，得y1=-2

3

，y2=-

2 3

5

，故A(-3，-2

3

)，B(

9

5

，-

2 3

5

)，
故|AB|=

16

5

3

．（8分）
（Ⅱ）周长=|AB|+|AF₁|+|BF₁|=8

3

．（12分）

（Ⅰ）确定直线AB的方程，代入双曲线方程，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长；
（Ⅱ）利用双曲线的定义，即可求△AF₁B的周长．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．

考点点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．