已知F1、F2分别是双曲线x23−y26=1的左右焦点,过右焦点F2作倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点.(Ⅰ)求线段AB的长;(Ⅱ)求△AF1B的周长.

已知F1、F2分别是双曲线x23−y26=1的左右焦点,过右焦点F2作倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点.(Ⅰ)求线段AB的长;(Ⅱ)求△AF1B的周长.

题目
已知F1、F2分别是双曲线
x2
3
y2
6
=1
的左右焦点,过右焦点F2作倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点.
(Ⅰ)求线段AB的长;
(Ⅱ)求△AF1B的周长.
答案
(Ⅰ)由双曲线的方程得F1(-3,0),F2(3,0),直线AB的方程为y=
3
3
(x-3)
①(2分)
将其代入双曲线方程消去y得,5x2+6x-27=0,解之得x1=-3,x2=
9
5
.(4分)
将x1,x2代入①,得y1=-2
3
y2=-
2
3
5
,故A(-3,-2
3
)
B(
9
5
,-
2
3
5
)

|AB|=
16
5
3
.(8分)
(Ⅱ)周长=|AB|+|AF1|+|BF1|=8
3
.(12分)
(Ⅰ)确定直线AB的方程,代入双曲线方程,求出A,B的坐标,即可求线段AB的长;
(Ⅱ)利用双曲线的定义,即可求△AF1B的周长.

直线与圆锥曲线的关系;双曲线的简单性质.

本题考查直线与双曲线的位置关系,考查双曲线的定义,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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