tanA+tanB+根号3tanAtanB=根号3,c=3.求C?求三角形ABC面积的最大值.

题目

tanA+tanB+根号3tanAtanB=根号3,c=3.求C?求三角形ABC面积的最大值.

答案

tanA+tanB+√3tanAtanB=√3,
(tanA+tanB)=√3(1-tanAtanB),
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=√3,
A+B=60°,
C=180°-（A+B）=120°
根据余弦定理,
9=c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²+ab≥2ab+ab=3ab,
所以ab≤3,
S△ABC=1/2absinC=√3/4*ab≤3√3/4,
当且仅当a=b=√3时,等号成立,
即三角形ABC面积的最大值为3√3/4.