设函数y=sin^2x+acosx+5/8a-3/2(0≤x≤π/2)的最大值是1.求a的值

题目

设函数y=sin^2x+acosx+5/8a-3/2(0≤x≤π/2)的最大值是1.求a的值

答案

y=sin^2x+acosx+5/8a-3/2
=-cos^2x+1+acosx+5/8a-3/2
=-cos^2x+acosx+5/8a-1/2
=-（cosx-a/2)^2+a^2/4+5/8a-1/2
(0≤x≤π/2)
则0<=cosx<=1
则当a<0时.则cosx=0时,取得最大值
所以,最大值为：
5/8a-1/2=1
则a=12/5
因为a<0,所以舍去a=12/5
当0<=a<=2.可知0<=a/2<=1,则cosx=a/2时,取得最大值
则a^2/4+5/8a-1/2=1
则（a+4）（2a-3)=0
a=3/2,a=-4,
因为0<=a<=2,
所以a=3/2
当a>2时,则a/2>1.所以.当cosx=1时,取得最大值
所以,最大值为：
-（1-a/2)^2+a^2/4+5/8a-1/2=1
则a=20/13
因为a>2,所以舍去a=20/13
综合得,a=3/2