已知函数f（x）定义域为｛x|x≠0,x∈R｝｝,对定义域的任意x1,x2都有f(x1乘x2）=f（x1）+f（x2）且当x＞1时,f（x）大于0

题目

已知函数f（x）定义域为｛x|x≠0,x∈R｝｝,对定义域的任意x1,x2都有f(x1乘x2）=f（x1）+f（x2）且当x＞1时,f（x）大于0
（1）求f（1）与f（-1）值
（2）求证：f（x）是偶函数
（3）求证：f（x）在（0,正无穷）上是增函数

答案

(1)
将x1=1 x2=1代入 f(x1*x2)=f(x1)+f(x2)
得f(1)=0
将x1=-1 x2=-1代入 f(x1*x2)=f(x1)+f(x2)
得f(-1)=0
(2)
将x2=-1代入 f(x1*x2)=f(x1)+f(x2)
则f(-x1)=f(x1)
∴f(x)是偶函数
(3)
设x1∈(0,+∞) ,x2>1 ,则 (x1*x2)∈(0,+∞) 且 x1*x2>x1
由题意得f(x1*x2)=f(x1)+f(x2)
即f(x1*x2)-f(x1)=f(x2)
∵x2>1
∴f(x2)>0
即f(x1*x2)-f(x1)>0
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数