在平面直角坐标系中,抛物线经过O(0.0)A(4.0)B(3.负的3分之2倍根号3）三点

题目

在平面直角坐标系中,抛物线经过O(0.0)A(4.0)B(3.负的3分之2倍根号3）三点
（1）求才抛物线解析式 （2）以OA的中点M为圆心,OM长为半径作圆M ,在（1）中的抛物线是否存在这样的点P,过点P作圆M的切线L,且L与X轴的夹角为30度 ,若存在,请求出点P的坐标 .

答案

在平面直角坐标系中,抛物线经过O(0.0)A(4.0)B(3.负的3分之2倍根号3）三点（1）求才抛物线解析式 （2）以OA的中点M为圆心,OM长为半径作圆M ,在（1）中的抛物线是否存在这样的点P,过点P作圆M的切线L,且L与X轴的夹角为30度 ,若存在,请求出点P的坐标 .
(1)解析：∵抛物线经过O(0.0)A(4.0)B(3.负的3分之2倍根号3）三点
F(x)=ax^2+bx+c
F(0)=c=0
F(4)=16a+4b=0==>a=-b/4
F(3)=9a+3b=-2√3/3==>3b/4=-2√3/3==>b=-8√3/9,a=2√3/9
∴f(x)=2√3/9x^2-8√3/9x
(2)解析：由题意,圆M方程为(x-2)^2+y^2=4
设抛物线上P(x,y),则切线斜率为tan30=√3/3
切线方程：y=√3/3x+t==>y^2=x^2/3+2√3/3tx+t^2
代入圆方程得4/3x^2+(2√3/3t-4)x+t^2=0
⊿=(2√3/3t-4)^2-16/3*t^2=0==>3t^2+4√3t-12=0
T1=-2√3,t2=2√3/3
当t=2√3/3时,x=1; 当t=-2√3时,x=3(不合题意舍);
∴P(1,√3)