对多少个实数a,关于x的二次方程x2+ax+6a=0只有实数根

题目

对多少个实数a,关于x的二次方程x2+ax+6a=0只有实数根
答案是10个

答案

设m、n是方程二整数根(m≤n)．则应有a=-(m+n),6a＝mn,
因此,a也是整数,且-6(m+n)=mn,即(m+6)(n+6)=36.
由于36=2的平方•3的平方,所以(m,n)有10组
(-42,-7),(-24,-8),(-18,-9),(-15,-10),(-12,-12),
(-5,30),(-4,12),(-3,6),(-2,3),(0,0),
对应的a=-(m+n)也有10个值：49,32,27,25,24,-25,-8,-3,-1,0.