如图：已知M是Rt△ABC的斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上且BP=5，CQ=3，PM⊥QM，则PQ为（　　） A.34 B.4 C.34 D.17

题目

如图：已知M是Rt△ABC的斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上且BP=5，CQ=3，PM⊥QM，则PQ为（　　）
A. 34
B. 4
C.

34

D.

17

答案

延长QM至D，使DM=QM，连接BD、PD，∵M是边BC的中点，∴BM=CM，在△CMQ和△BMD中，∵BM＝CM∠CMQ＝∠BMD(对顶角相等)DM＝QM，∴△CMQ≌△BMD（SAS），∴BD=CQ，∠DBM=∠C，在△ABC中，∵∠A=90°，∴∠C+∠ABC=90°，...

延长QM至D，是DM=QM，连接BD、PD，然后利用“边角边”证明△CMQ和△BMD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CQ，全等三角形对应角相等可得∠DBM=∠C，然后求出∠PBD=90°，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PD=PQ，然后利用勾股定理列式进行计算即可得解．

本题考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线，构造出全等三角形与直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．