正整数m,n.p满足什么条件时,不等式m/(a-b)+n/(b-c)+p/(c-a)>0对a>b>c恒成立

题目

正整数m,n.p满足什么条件时,不等式m/(a-b)+n/(b-c)+p/(c-a)>0对a>b>c恒成立
答案是根号m+根号n>根号p,请给出过程,

答案

设x = a-b,y = b-c,则a-c = x+y.不等式化为m/x+n/y > p/(x+y),而条件a > b > c化为x,y > 0.对给定的正实数m,n,求(x+y)(m/x+n/y)在x,y > 0时的最小值.如果知道Cauchy不等式,直接有(x+y)(m/x+n/y) ≥ (√m+√n)²....