已知a、b、c是△ABC的三边,并设二次函数y=(a+b)x²+2cx+（a-b）,当x=-½时,有最小值-b/2.

题目

已知a、b、c是△ABC的三边,并设二次函数y=(a+b)x²+2cx+（a-b）,当x=-½时,有最小值-b/2.
求证三角形ABC为等边三角形

答案

将x=-½时带入函数方程有：
（a+b）/4-c+a-b=-b/2,即5a-b-4c=0.（1）
因为二次函数y=(a+b)x²+2cx+（a-b）中,二次项（a+b）>0,则函数开口朝上
则函数的对称轴与函数的交点为最小值,即当x=-2c/2（a+b）=-½,即a+b=2c.（2）
联解（1）和（2）得出a=b
此时函数值为：（4（a+b）（a-b）-（2c）²）/4（a+b）=-b/2,并把a=b带入
即a=c
即a=b=c,三角形为等边三角形