已知函数f(x)＝lnx-x+1证明ln2^2/2^2+ln3^2/3^2+…+lnn^2/n^2=2)

题目

已知函数f(x)＝lnx-x+1证明ln2^2/2^2+ln3^2/3^2+…+lnn^2/n^2=2)

答案

证明：取p=1
f(x)=lnx-x+1,x>=1
f'(x)=(1-x)/x1
则f(x)在x>1上单调递减,又f(x)可在x=1处连续则
f(x)1,lnx-x+11
即lnx1
我们取n²(>1)替换上式x有
lnn²