导数和微分

题目

导数和微分
设对任意x和y,函数f(x)满足等式f(x+y)=f(x)f(y)且f'(0)=1.
证明：f'(x)=f(x)

答案

f(x+0)=f(x)*f(0)=f(x)
所以f(0)=1
f(x+Δx)=f(x)*f(Δx)
f(x+Δx)-f(x)=f(x)*f(Δx)-f(x)
lim(Δx->0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx=lim(Δx->0)[f(x)*f(Δx)-f(x)]/Δx
所以
f'(x)=f(x)f'(0)
因为f'(0)=1
所以f'(x)=f(x)