设函数f(x)＝sinx/2+cosx． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．

题目

设函数f(x)＝

sinx

2+cosx

．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．

答案

（Ⅰ）f′(x)＝(2+cosx)cosx−sinx(−sinx)(2+cosx)2＝2cosx+1(2+cosx)2．（2分）当2kπ−2π3＜x＜2kπ+2π3（k∈Z）时，cosx＞−12，即f'（x）＞0；当2kπ+2π3＜x＜2kπ+4π3（k∈Z）时，cosx＜−12，即f'（x）＜...

（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．
（2）令g（x）=ax-f（x），根据导数研究单调性的方法，即转化成研究对任何x≥0，都有g（x）≥0恒成立，再利用分类讨论的方法求出a的范围．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．

考点点评：本小题主要考查函数的导数、单调性、不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．