过抛物线y2=4x的顶点O作两条互相垂直的直线分别交抛物线AB两点,则线段AB中点P的轨迹方程是

题目

过抛物线y2=4x的顶点O作两条互相垂直的直线分别交抛物线AB两点,则线段AB中点P的轨迹方程是
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答案

设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)
无疑,A,B都在抛物线上,故可由y1,y2分别表示x1,x2:
x1=y1^/4
x2=y2^/4 ①
由于OA⊥OB,可得出直线OA与OB的斜率乘积为-1,即：
kOA*kOB=-1
而kOA=(y1-0)/(x1-0)=y1/x1
kOB=(y2-0)/(x2-0)=y2/x2
将①式分别代入：
kOA=4/y1
kOB=4/y2
故,可得出:
(4/y1)*(4/y2)=-1
y1*y2=-16 ②
设线段AB中点P的坐标为(x,y),由线段的中点公式,可得出:
x=(x1+x2)/2
y=(y1+y2)/2
y1+y2=2y ③
结合①式,可做以下变换：
x=(x1+x2)/2=(y1^/4+y2^/4)/2=(y1^+y2^)/8=[(y1+y2)^-2y1*y2]/8
将②的值与③的y表达式代入：
x=[(2y)^-2*(-16)]/8=(4y^+32)/8=(y^+8)/2
y^=2x-8
此式即为P点的轨迹方程!