如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF． （1）证明：AF平分∠BAC； （2）证明：BF=FD； （3）若

题目

如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．

（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）证明：BF=FD；
（3）若EF=5，DE=4，求AD的长．

答案

（1）证明：如图1，连接OF，
∵FH为圆O的切线，
∴OF⊥FH，
∴OF垂直平分BC，
∴BF=FC，
∴AF平分∠BAC；
（2）证明：由题意得：∠BAF=∠CAF，∠ABD=∠CBD，∠FBC=∠CAF，
∴∠BAF+∠ABD=∠CAF+∠CBD=∠FBC+∠CBD，即∠FDB=∠FBD，
∴BF=FD；
（3）在△BFE和△AFB中，∠EBF=∠FAC=∠BAF，∠BFE=∠AFB，
∴△BFE∽△AFB，
∴

BF

FE

=

AF

BF

，即BF²=FE•FA，
∴FA=

BF2

FE

=

81

5

，
则AD=

81

5

-9=

36

5

．