在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(2cosC/2,-sinC),n=(cosC/2,2sinC)

题目

在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(2cosC/2,-sinC),n=(cosC/2,2sinC)
且m⊥n
若a^2=2b^2+c^2,求tanA的值

答案

因为 m丄n ,所以 m*n=0 ,
即 2[cos(C/2)]^2-2(sinC)^2=0 ,
化简得 [cos(C/2)+sinC][cos(C/2)-sinC]=0 ,
由于 cos(C/2)>0 ,sinC>0 ,因此由上式得 sinC=cos(C/2) ,
即 2sin(C/2)cos(C/2)=cos(C/2) ,
解得 sin(C/2)=1/2 ,所以 C/2=π/6 ,则 C= π/3 .
因此由余弦定理及已知可得, cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)= -b/c ,
又由正弦定理得 cosA= -sinB/sinC ,
所以 cosAsinC= -sinB = -sin(A+C)= -sinAcosC-cosAsinC ,
解得 tanA=sinA/cosA= -2tanC= -2√3 .