计算星形线x=a cos^3t,y=a sin^3t的全长

题目

计算星形线x=a cos^3t,y=a sin^3t的全长

答案

只要计算第一象限部分的长度,再乘以4即可
首先,弧微分ds＝√[(dx)^2＋(dy)^2]＝√[(x')^2＋(y')^2]dt＝3a|sintcost|dt,x'、y'表示求导
其次,弧长s＝4∫(0,π/2) 3a|sintcost|dt＝12a∫(0,π/2) sintcostdt＝6a