直线y=2x+k截抛物线y^2=4x所得弦为AB,求弦的中点M的轨迹方程

题目

直线y=2x+k截抛物线y^2=4x所得弦为AB,求弦的中点M的轨迹方程

答案

代入
(2x+k)^2=4x
4x^2+4kx+k^2=4x
4x^2+(4k-4)x+k^2=0
x1+x2=-(4k-4)/4=1-k
y=2x+k
所以y1+y2=2x1+k+2x2+k=2(x1+x2)+2k=2-2k+2k=2
M是中点,所以x=(x1+x2)/2,y=(y1+y2)/2
所以x=(1-k)/2,y=1
y=2x+k,所以k=y-2x
所以x=(1-y+2x)/2
也得到y=1
直线和抛物线有交点
所以4x^2+(4k-4)x+k^2=0有解
所以16k^2-32k+16-16k^2>=0
k<=1/2
即k=y-2x<=1/2
y=1,所以1-2x<=1/2
x>=1/4
所以是y=1,且在x=1/4的右侧的一条射线