甲船在A处观察乙船,乙船在B处,在甲的北偏东60°的方向,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的3倍. 求: (1)甲船应朝什么方向行驶,才能在最短时间内追上乙船; (2
题目
甲船在A处观察乙船,乙船在B处,在甲的北偏东60°的方向,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的
倍. 求:
(1)甲船应朝什么方向行驶,才能在最短时间内追上乙船;
(2)甲船追上乙船时,甲船行驶了多少海里?
答案
(1)如图所示,设到C点甲船追上乙船,乙到C地用的时间为t,乙船速度为v,
则BC=tv,AC=
tv,B=120°,(2分)
由正弦定理知
=,(4分)
∴
=,
∴sin∠CAB=
,∴∠CAB=30°,∴∠ACB=30°,
∴甲追击的方向是北偏东30
0.(8分)
(2)BC=AB=a,
∴AC
2=AB
2+BC
2-2AB•BCcos 120°=a
2+a
2-2a
2•
(−)=3a
2,∴AC=
a.
∴甲追上乙船时,甲行驶了
a 海里.
∴甲追击的方向是北偏东30
0.甲追上乙船时,甲行驶了
a 海里. (14分)
(1)由题意及方位角的定义画出简图,设到C点甲船上乙船,乙到C地用的时间为t,乙船速度为v,则BC=tv,AC=
tv,B=120°,在三角形中利用正弦定理,可求甲追击的方向;
(2)在△ABC中,利用余弦定理即可求解甲船追上乙船时,甲船行驶的距离.
解三角形的实际应用;正弦定理.
本题重点考查正余弦定理在解三角形中的运用,考查学生对方位角的概念的理解,考查学生的计算能力,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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