根号x(1+x)分之dx 书上的我看不懂,

题目

根号x(1+x)分之dx 书上的我看不懂,

答案

是求函数1/[根号x(1+x)]的不定积分吧?下面是计算过程：
函数1/[根号x(1+x)]是无理函数,采用变量代换的方法将其转化为有理函数的不定积分进行计算.如果将x(1+x)作为一个整体引入一个新的变量,我们会发现x的表达式不易写出,为此现将x(1+x)变换为[x^2)*(1+x)]/x,这样一来根号x(1+x)=x*根号[(1+x)/x],
令t^2=(1+x)/x,则x=1/(t^2-1),dx=-2tdt/[(t^2-1)^2],于是
dx/[根号x(1+x)]=-2dt/(t^2-1)=-2dt/[(t+1)(t-1)]=dt/(t+1) -dt/(t-1)
于是函数1/[根号x(1+x)]的不定积分=ln|t+1|-ln|t-1|+C=ln|(t+1)/(t-1)|+C=ln|1+2x+2根号[x(1+x)]|+C