设A为任一实矩阵,R(ATA)与R(A)是否相等?请证明你的结论.

题目

设A为任一实矩阵,R(ATA)与R(A)是否相等?请证明你的结论.

答案

只需要证明线性方程组 A^TAX =0 与 AX=0 同解.
一方面,显然 AX=0的解是 A^TAX =0 的解.
另一方面,如果 A^TAX=0,
左边乘以 X^T 得到 X^TA^TAX =0
即 (AX)^T(AX) =0
注意,左边是一个积形式,正好是 |AX|²,所以只能 AX=0
说明A^TAX=0的解也是AX的解
证毕.