定义域为R的函数f(x),满足f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1,证明函数f(x)为偶函数.

题目

定义域为R的函数f(x),满足f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1,证明函数f(x)为偶函数.

答案

令x=y=0,
f(0)=f(0)+f(0),
f(0)=0
令x=y=1,
f(1)=f(1)+f(1),
f(1)=0
令x=y=-1,f(1)=f(-1)+f(-1),f(-1)=0
令y=-1,f(-x)=f(x)+f(-1),则,f(-x)=f(x),是偶函数