证明不等式:如果x是实数,且x>-1,x≠0,n为大于1的自然数,那么有:1+x)n>1+nx.

证明不等式:如果x是实数,且x>-1,x≠0,n为大于1的自然数,那么有:1+x)n>1+nx.

题目
证明不等式:如果x是实数,且x>-1,x≠0,n为大于1的自然数,那么有:
1+x
)n>1+nx
答案
证明:①当n=2时,左边=(1+x)2=1+2x+x2
∵x≠0,∴1+2x+x2>1+2x=右边,
∴n=2时不等式成立
②假设n=k(k≥2)时,不等式成立,
即(1+x)k>1+kx,
当n=k+1时,因为x>-1,所以1+x>0,
左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,
而右边=1+(k+1)x,
所以左边>右边
这就是说,原不等式当n=k+1时也成立.
根据①和②,原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.
1+x
)n>1+nx
用数学归纳法进行证明,在证明n=k+1成立时,用到放缩法得到(1+x)k(1+x)>(1+kx)(1+x),是证明的关键.

数学归纳法;反证法与放缩法.

本题考查不等式的证明,解题时要认真审题,仔细 解答,注意放缩法的合理运用.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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