有正交阵P,用P^-1*A*P或P^T*A*P求A的对角化矩阵Λ有什么区别,用第二种方法求得Λ不是以A的特征值的对角阵

题目

有正交阵P,用P^-1*A*P或P^T*A*P求A的对角化矩阵Λ有什么区别,用第二种方法求得Λ不是以A的特征值的对角阵
用|A-λE|方法求A的特征值组成对角阵Λ,p1,p2,……组成可逆正交阵P,验证时P^-1*A*P=Λ,但是有时P^T*A*P≠Λ啊

答案

1.C可逆,C^TAC 为对角矩阵,这是合同变换
比如用配方法
2.P=(α1,α2,...αn),α1,α2,...αn 是A的分别属于特征值λ1,λ2,...,λn的线性无关的特征向量
此时 P^-1AP = diag(λ1,λ2,...,λn),这是相似对角化
3.Q=(α1,α2,...αn),α1,α2,...αn 是A的分别属于特征值λ1,λ2,...,λn的两两正交的长度为1的特征向量
此时 Q^-1AQ = diag(λ1,λ2,...,λn),这是正交相似对角化
只有此时,才有 Q^-1AQ = Q^TAQ
注意:A是对称矩阵时,需将重特征值的特征向量正交化,将所有特征向量单位化