问题一;设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得
题目
问题一;设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得
f(x)=g(x)+h(x)
设映射f:X→Y,A属于X,B属于X,证明
1,f(A∪B)=f(A)∪f(B)
2,f(A∩B)属于f(A)∩f(B)
如果可以,
答案
1.∵f(x)=g(x)+h(x) (1)
∴f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x) (2)
(1)+(2)
∴g(x)=[f(x)+f(-x)]/2
(1)-(2)
∴h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
既必存在(-l,l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x)
2.a.对任意的y属于f(A∪B),存在一个x属于A∪B,有
f(x)=y,其中x属于A或B,所以f(x)属于
f(A)或者是f(x)属于f(B),当然有f(x)属
于f(A)∪f(B),即:y属于f(A)∪f(B),
所以 f(A∪B) 属于 f(A)∪f(B)
b.反过来,对任意的y属于f(A)∪f(B) ,有y属于
f(A)或f(B),不妨设其属于f(A),那么存在x属于
A,使得:f(x)=y,又有x属于 A∪B,所以
y属于f(A∪B).所以f(A)∪f(B) 属于f(A∪B)
综上所述:命题得证.
2.(1)设y属于f(A∪B),则存在x,有y=f(x)且x属于A∪B,即x属于A或x属于B,于是y属于f(A)或y属于f(B),故y属于f(A)∪f(B),f(A∪B)包含于f(A)∪f(B);
设y属于f(A)∪f(B),则y属于f(A)或y属于f(B),于是存在x属于A,使得y=f(x)或存在x属于B,使得y=f(x),即存在x属于A∪B,使得y=f(x),也即y属于f(A∪B),f(A)∪f(B)包含于f(A∪B),故f(A∪B)=f(A)∪f(B)
(2)
设y属于f(A∩B),则存在x,有y=f(x)且x属于A∩B,即x属于A且x属于B,于是y属于f(A)且y属于f(B),故y属于f(A)∩f(B),f(A∩B)包含于f(A)∩f(B).
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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