狄利克雷函数是用什么方法表示的?

题目

狄利克雷函数是用什么方法表示的?

答案

狄利克雷函数是广义的函数.(Dirac delta function也 是广义的函数.)
狄利克雷函数:
D(x)=lim(n→∞){lim(m→∞)[cosπm!x]^n}
也可以简单地表示分段函数的形式D(x) = 0 (x是无理数) 或1 (x是有理数)
分析性质
1、处处不连续
2、处处不可导
3、在任何区间内黎曼不可积
4、函数是可测函数
5、在单位区间 [0,1] 上勒贝格可积,且勒贝格积分值为 0（且任意区间<a,b>以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）
对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞,但在R/Q上有f(x)=0,符合可积条件（说明中Q为有理数集）.
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