高数求一元函数在一点的切线方程问题

题目

高数求一元函数在一点的切线方程问题
已知曲线过（1,1）点,如果把曲线上任意一点P处的切线与y轴的交点记作Q,则以PQ为直径所做的圆都经过点F（1,0）,就此曲线.

答案

设曲线为y=f(x),曲线上点P的坐标为(x,y),
过点P的切线方程为：Y-y=f'(x)(X-x),Q为(0,y-xf'(x)) ,
PQ^2=x^2+x^2(f'(x))^2
PQ的中点坐标为：（x/2,y-xf'(x)/2) ,
由于点F（1,0）在圆上,（x/2-1)^2+(y-xf'(x)/2)^2=[x^2+x^2(f'(x))^2]/4
或：(x-2)^2+(2y-xf'(x))^2=x^2+x^2(f'(x))^2
化简得：-x+1+y^2-xyf'(x)=0
即：y^2-xyy'=x-1
2xy^2-2x^2*yy'=2x(x-1)
或：[2y^2dx-2xydy]/x^3=-2(x-1)/x^3dx
通解为：y^2/x^2=2/x-1/x^3+C,或：y^2=2x-1/x+Cx^2
因曲线过（1,1）点,代入得：C=0
所求曲线为：y^2=2x-1/x