已知函数f(x)=ax3+(a-1)x2+48(a-2)x+b的图象关于原点成中心对称,试判断f(x)在区间[-4,4]上的单调性,并证明你的结论.

已知函数f(x)=ax3+(a-1)x2+48(a-2)x+b的图象关于原点成中心对称,试判断f(x)在区间[-4,4]上的单调性,并证明你的结论.

题目
已知函数f(x)=ax3+(a-1)x2+48(a-2)x+b的图象关于原点成中心对称,试判断f(x)在区间[-4,4]上的单调性,并证明你的结论.
答案
f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.
证明如下:函数f(x)的图象关于原点成中心对称,
则f(x)是奇函数,即f(-x)=-f(x)对于任意x的成立,
则有a(-x)3+(a-1)(-x)2+48(a-2)(-x)x+b=-[ax3+(a-1)x2+48(a-2)x+b]
必有a-1=0,b=0,
即a=1,b=0,
于是f(x)=x3-48x.
f′
x
=3x2−48

∴当x∈(−4,4)∴f′
x
<0

所以f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.
根据题意,由奇函数的定义,可得f(x)是奇函数,由奇函数的性质,可得a(-x)3+(a-1)(-x)2+48(a-2)(-x)x+b=-[ax3+(a-1)x2+48(a-2)x+b]恒成立,分析可得a、b的值,即可得f(x)的解析式,对f(x)求导,分析其导数在(-4,4)上的符号,结合函数单调性与导数的关系,即可得答案.

奇偶性与单调性的综合;函数单调性的判断与证明.

本题考查函数奇偶性的性质与单调性的判断,注意结合函数奇偶性的性质,分析求出a、b的值.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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