平面有n条直线,任意两条直线不平行,任意三条直线不过同一点,把平面分为f(n)个区域.求f(n).

题目

平面有n条直线,任意两条直线不平行,任意三条直线不过同一点,把平面分为f(n)个区域.求f(n).

答案

n=1时,f(1)=2;
设k条直线把平面分成f(k)个区域,n=k+1时,增加的这一条直线被前k条直线分成k+1段,每一段都使平面区域增加一个,所以,增加的平面区域块数是k+1,
所以,f(k+1)=f(k)+k+1,
f(1)=2
f(2)=f(1)+2
f(3)=f(2)+3
.
f(n)=f(n-1)+n
累加得 f(n)=1+n(n+1)/2