关于x的方程2cos2x-sinx+a=0在区间[0,7π6]上恰好有两个不等实根,则实数a的取值范围是_.

关于x的方程2cos2x-sinx+a=0在区间[0,7π6]上恰好有两个不等实根,则实数a的取值范围是_.

题目
关于x的方程2cos2x-sinx+a=0在区间[0,
6
答案
由题意,方程可变为a=-2cos2x+sinx,令t=sinx,
由0<x≤
6
,可得 t∈[-
1
2
,1].
①当x∈[π,
6
]时,t∈[-
1
2
,0],此时,x与t一一对应.
由题意可得,关于t的方程a=2t2+t-2,当t∈[-
1
2
,0]应有2个实数根,
即直线y=a和函数y=2t2+t-2,当t∈[-
1
2
,0]应有2个交点.
当t=-
1
4
时,y=2t2+t-2有最小值-
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8
. 当t=-
1
2
或0时,a=2t2+t-2=-2.
此时,应有 a∈(-
17
8
,-2].
但当a=-2时,t=-
1
2
或0,在区间[0,
6
]上,对应x=0 或π或
6

关于x的方程2cos2x-sinx+a=0在区间[0,
6
]上有3个实数根,
故不满足条件,应舍去,故 a∈(-
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,-2).
②当x∈(0,π),且x≠
π
2
时,有2个x与一个t值对应.
故由题意可得,关于t的方程a=2t2+t-2,当t∈(0,1)有一个实数根,
即直线y=a和曲线y=2t2+t-2在(0,1)上有一个交点,如图所示:
此时,a∈(-2,1).
综上可得,实数a的取值范围是 (-
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8
,-2)∪(-2,1),
故答案为  (-
17
8
,-2)∪(-2,1).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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