设{an}是正项数列,其前n项和Sn满足：Sn=1/2(an+1/an),求证{Sn的平方}为等差数列、、{an}的通项公式

题目

设{an}是正项数列,其前n项和Sn满足：Sn=1/2(an+1/an),求证{Sn的平方}为等差数列、、{an}的通项公式

答案

由Sn=1/2(an+1/an)
得：S1=a1=1/2(a1+1/a1)
2a1=a1+1/a1
a1=1/a1
(a1)*(a1)=1
a1=1（{an}是正项数列） S1=a1=1
S2=a1+a2=1/2(a2+1/a2)
将a1=1代入得
a2等于根号2-1；S2等于根号2；
同理a3等于根号3-根号2；S3等于根号3；
可见Sn的平方为等差数列.以下用完全归纳法证明.
即：Sn的平方是等差数列.且公差是1.