在三角形ABC中,2b=a+c,且tanB/2=4/7.试做一个以tanA/2,tanC/2为根的一元二次方程

题目

在三角形ABC中,2b=a+c,且tanB/2=4/7.试做一个以tanA/2,tanC/2为根的一元二次方程

答案

由正弦定理,及2b=a+c,得 2sinB=sinA+sinC
2sin(A+C)=sinA+sinC
4sin[(A+C)/2]cos[(A+C)/2]=2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]
2cos(A/2+C/2)=cos(A/2 -C/2)
2cos(A/2)cos(C/2)-2sin(A/2)sin(C/2)=cos(A/2)cos(C/2)+sin(A/2)sin(C/2)
cos(A/2)cos(C/2)=3sin(A/2)sin(C/2)
tanAtanC=1/3=2/6 (1)
又tanB/2=4/7,即 tan[90°-(A+C)/2]=4/7,tan[(A+C)/2]=7/4
[tan(A/2)+tan(C/2)]/[1-tan(A/2)tan(C/2)]=7/4
tan(A/2)+tan(C/2)]=7/6 (2)
所以 tan(A/2),tan(C/2)是方程 6x²-7x+2=0 的根.