ABC-A1B1C1是直三棱柱,角BAC为90度,D1 F1分别是A1B1、A1C1的中点,若BC=CA=CC1,求BD1与AF1所成角的余弦

题目

ABC-A1B1C1是直三棱柱,角BAC为90度,D1 F1分别是A1B1、A1C1的中点,若BC=CA=CC1,求BD1与AF1所成角的余弦

答案

角BAC为90度与BC=CA矛盾啊 
假设BA=CA=CC1
 
取AB中点为D,取B1C1中点为E1,连接E1F1、BD1、A1D、DE1.令BA=CA=CC1=a
因E1F1//A1B1且E1F1=A1B1/2（中位线）；又A1B1//AB且A1B1=AB；又AD在AB上且AD=AB/2
则E1F1//AD且E1F1=AD,于是ADE1F1为平行四边形（实为矩形）,所以AF1//DE1且AF1=DE1
因BD//D1A1且BD=D1A1,则DBD1A1为平行四边形,所以BD1//DA1且BD1=DA1
由此可知∠A1DE1为BD1与AF1所成角.
在三角形A1B1C1中,∠B1A1C1=RT∠,B1A1=C1A1,则A1E1=(√2/2)a.在RT三角形BB1D1和AA1F1中,BD1=AF1=(√5/2)a.在三角形A1DE1中,DE1=AF1,DA1=BD1,则由余弦定理有cos∠A1DE1=4/5