n阶导数问题

题目

n阶导数问题
已知f'(x)=[f(x)}^2,且f(x)的n阶导数存在,则f(x)的n阶导数是什么?
这道题可以用莱布尼茨公式吗?应该怎么用?如果不是,那么怎样解决?请知道的朋友帮忙详细解答一下,谢谢!

答案

用数学归纳法
设fk(x)=k![f(x)]^(k+1) k>=1,fk(x)指f(x)的k阶导数
f(k+1)(x)=k!(k+1)[f(x)]^k*f'(x)=(k+1)![f(x)]^(k+2)
由于k=1时成立,k为正整数时均成立
fn(x)=n![f(x)]^(n+1)