已知,在边长为6的正方形ABCD的两侧如图作正方形BEFG、正方形DMNK,恰好使得N、A、F三点在一直线上,连接MF交线段AD于点P,连接NP,设正方形BEFG的边长为x,正方形DMNK的边长为y,
题目
已知,在边长为6的正方形ABCD的两侧如图作正方形BEFG、正方形DMNK,恰好使得N、A、F三点在一直线上,连接MF交线段AD于点P,连接NP,设正方形BEFG的边长为x,正方形DMNK的边长为y,
(1)求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)当△NPF的面积为32时,求x的值;
(3)以P为圆心,AP为半径的圆能否与以G为圆心,GF为半径的圆相切?若能请求x的值;若不能,请说明理由.
答案
(1)∵四边形BEFG、DMNK、ABCD是正方形,
∴∠E=∠K=90°,AE∥MC,MC∥NK,
∴AE∥NK,
∴∠KNA=∠EAF,
∴△KNA∽△EAF,
∴
=,
即
=,
∴y=x+6(0<x≤6);
(2)由(1)可知:NK=AE,
∵四边形DMNK是正方形,
∴AP∥NM,
∴
==1,
∴AN=AF,
∵NK=AE,∠K=∠E,
∴△KNA≌△EAF,
∴FP=PM,
∴S
△MNP=S
△NPF=32,
∴S
正方形DMNK=2S
△MNP=64,
∴y=8,
∴x=2;
(3)连接PG,延长FG交AD于H点,则GH⊥AD.
易知:
AP=,AH=x,PH=−x;
HG=6;
PG=AP+GF=+x.
①当两圆外切时,在Rt△GHP中,PH
2+HG
2=PG
2即
(−x)2+62=(+x)2,
∵y=x+6,
代入整理得:x
2+6x-18=0,
解得:
x=−3±3
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程. 我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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