如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°； AD∥BC，BC=BD=5cm，CD=10cm．点P由B出发沿B方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s

题目

如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°； AD∥BC，BC=BD=5cm，CD=

10

cm．点P由B出发沿B方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5）．解答下列问题：

（1）AD的长为______：
（2）当t为何值时，PE∥AB？
（3）设△PEQ的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（4）连接PF，在上述运动过程中，试判断PE、PF的大小关系并说明理由．

答案

（1）过点D作DF⊥BC于点M，设BM=x，DM=y，则
BM²+DM²=BD²，DM²+MC²=CD²，
∴x²+y²=5²①，y²+（5-x）²=（

10

）²②，
把①代入②得：
x=4，
即AD=4；
（2）∵PE∥AB，
∴

DE

DA

=

DP

BD

，
而DE=t，DP=10-t，
∴

t

4

=

5−t

5

，
解得：t=

20

9

，
∴当t=

20

9

时，PE∥AB；
（3）如图2，过点E作EG⊥BD于点G，
∵∠A=∠EGD=90°，∠EDG=∠BDA，
∴Rt△ABD～Rt△GED，
∴

AB

BD

=

GE

DE

，
∵BD=5，AB=3，ED=t，
∴GE=

3

5

t，
∵PQ=5-2t，
∴y=

1

2

×（5-2t）×

3

5

t=-

3

5

t²+

3

2

t；
（4）连接PF，如图2，在△PDE和△FBP中，
∵DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，
∴

DE＝BP ∠EDP＝∠PBF PD＝BF

，
∴△PDE≌△FBP（SAS），
∴PE=PF．
故答案为：4．

（1）过点D作DF⊥BC于点M，利用勾股定理求出AD的长即可；
（2）利用PE∥AB，得出

DE

DA

=

DP

BD

，进而求出t的值；
（3）首先得出Rt△ABD～Rt△GED，则

AB

BD

=

GE

DE

，得出GE=

3

5

t，PQ=5-2t，即可得出y与t的函数关系式；
（4）根据DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，得出△PDE≌△FBP（SAS），即可得出答案．

本题考点：相似形综合题．

考点点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定和勾股定理等知识，利用数形结合得出Rt△ABD～Rt△GED，进而表示出GE的长是解题关键．