向量组的线性表示

题目

向量组的线性表示
设向量组α1=(-1,4,1),α2=(-2,5,1),α3=(a,10,2),β=(1,c,b).当a,b,c满足什么条件时
（1）β不能由α1,α2,α3线性表示
（2）β能由α1,α2,α3线性表示,但表示不唯一,并写出一般的表达式.

答案

-1 -2 a 1
4 5 10 c
1 1 2 b
r1+r3,r2-4r3
0 -1 a+2 b+1
0 1 2 c-4b
1 1 2 b
r1+r2
0 0 a+4 c-3b+1
0 1 2 c-4b
1 1 2 b
r1r3
1 1 2 b
0 1 2 c-4b
0 0 a+4 c-3b+1
所以有:
当 a≠-4 时,方程组有唯一解 (此时系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=3)
对应β可由α1,α2,α3唯一线性表示.
当 a=-4,c-3b+1≠0 时,方程组无解 (此时 r(A)=2,增广矩阵的秩=3)
对应β不能由α1,α2,α3线性表示.
当 a=-4,c-3b+1=0 时,方程组无穷多解 (此时 r(A)=2=增广矩阵的秩