在△ABC中，∠ACB=90°，CH⊥AB于H，△ACD和△BCE均为等边三角形． （1）求证：△DAH∽△ECH； （2）若AH：HB=1：4，求S△DAH：S△ECH．

题目

在△ABC中，∠ACB=90°，CH⊥AB于H，△ACD和△BCE均为等边三角形．

（1）求证：△DAH∽△ECH；
（2）若AH：HB=1：4，求S_△DAH：S_△ECH．

答案

（1）证明：∵△ACD和△BCE均为等边三角形，
∴AC=AD，BC=CE，∠DAC=∠BCE．
在△ABC中，∠ACB=90°，CH⊥AB于H，
∴∠CAB+∠ACH=∠CAB+∠ABC=90°．
∴∠ACH=∠ABC．
同理∠CAB=∠HCB．
∴∠DAC+∠CAB=∠BCE+∠HCB，△ACH∽△CBH．
∴AH：CH=AC：BC=AD：CE，∠DAH=∠ECH．
∴△DAH∽△ECH．
（2）∵AH：HB=1：4，
∴HB=4AH．
∵△ACH∽△CBH，
∴CH²=AH•HB=4AH²
∵△DAH∽△ECH，
∴S_△DAH：S_△ECH．=AH²：CH²=1：4．